Download Angewandte Mathematik: Body and Soul: [VOLUME 1] Ableitungen by Kenneth Eriksson, Claes Johnson, Donald Estep (auth.) PDF

By Kenneth Eriksson, Claes Johnson, Donald Estep (auth.)

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Zur Wiederholung: Im Zentrum steht die Formel x(tn ) ≈ x(tn−1 ) + f (tn−1 )(tn − tn−1 ) oder mit f (t) = x (t) x(tn ) ≈ x(tn−1 ) + x (tn−1 )(tn − tn−1 ), die eine Verbindung zwischen zur¨ uckgelegten Wegstrecken und der mit Zeitspannen multiplizierten Geschwindigkeit herstellt. 6), die wir durch Division mit tn −tn−1 erhalten haben. Im Folgenden werden wir die u ¨berraschend starke Aussagekraft dieser scheinbar einfachen Beziehungen enth¨ ullen. 44 4. 12) in der die Funktion f auf der rechten Seite nicht nur von t, sondern auch von der unbekannten L¨ osung x(t) selbst abh¨angig ist.

Deswegen ist Mathematik zentral f¨ ur die technischen M¨ oglichkeiten unserer modernen Gesellschaft, die sich um automatisierte Produktion materieller G¨ uter und automatisierte Datenverarbeitung von Informationen dreht. Die Vision einer virtuellen Realit¨ at, die auf automatisierten Berechnungen beruht, wurde bereits von Leibniz im 17. Jahrhundert formuliert und von Babbage ab 1830 mit seiner analytischen Maschine weiterentwickelt. Diese Vision wird schließlich im modernen Computerzeitalter verwirklicht, in der Synthese von Body and Soul der Mathematik.

9): t1 t2 (t2 − t1 ) + (t3 − t2 ) + · · · 1 + t1 1 + t2 tn−1 tn−2 (tn−1 − tn−2 ) + (tn − tn−1 ). + 1 + tn−2 1 + tn−1 x(tn ) ≈ Xn = Bei identischen“ Zeitspannen k = tj − tj−1 f¨ ur alle j l¨asst sich dies zu ” 2k k k+ k + ··· x(tn ) ≈ Xn = 1+k 1 + 2k (n − 1)k (n − 2)k k+ k + 1 + (n − 2)k 1 + (n − 1)k vereinfachen. F¨ ur k = 0, 05 sind die jeweiligen Summen f¨ ur n = 1, 2, . . , N berechnet und die Ergebnisse Xn , die x(tn ) ann¨ahern, in Abb. 3 wiedergegeben. 42 4. Kurzer Kurs zur Infinitesimalrechnung Geschwindigkeit zurückgelegter Weg Zeit Zeit Abb.

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