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By Wolfgang Walter (auth.)

Dem erfolgreichen Konzept von Analysis I folgend, wird auch im zweiten Teil dieses zweib?ndigen Analysis-Werkes viel Wert auf historische Zusammenh?nge, Ausblicke und die Entwicklung der research gelegt. Zu den Besonderheiten, die ?ber den kanonischen Stoff des zweiten und dritten Semesters einer Analysisvorlesung hinausgehen, geh?rt das Lemma von Marston Morse. Die Grundtatsachen ?ber die verschiedenen Integralbegriffe werden allesamt aus S?tzen ?ber verallgemeinerte Limites (Moore-Smith-Konvergenz) abgeleitet. Die C?-Approximation von Funktionen (Friedrich Mollifiers) wird ebenso behandelt, wie die Theorie der absolut stetigen Funktionen. Bei den Fourierreihen wird die klassische Theorie in Weiterf?hrung einer von Chernoff und Redheffer entwickelten Methode behandelt. Zahlreiche Beispiele, ?bungsaufgaben und Anwendungen, z.B. aus der Physik und Astronomie runden dieses Lehrbuch ab.

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2. Es sei B c JR" eine offene Kugel. Man zeige, daB jede der Bedingung B eKe geniigende Menge K konvex is!. B 3. Jede k-dimensionale Ebene im JR" ist konvex. 4. In der x,y-Ebene sei M der Graph von arctanx im Intervall [0,00). Dann ist con v M = {(x,y) : x;;:: 0, 0 < y:5; arctan x} U {(O,O)}. Das letzte Beispiel zeigt, daB die konvexe HUlle einer abgesehlossenen Menge nieht notwendig abgesehlossen ist. Stiitzebene. Es sei K eine abgesehlossene, konvexe Menge. Man nennt eine (Hyper-)Ebene H : (x, c) = IX, welche einen Randpunkt z von K enthalt und die Eigensehaft hat, daB K ganz auf einer Seite von H liegt - also (x, c) ::::;; IX oder ~ IX fUr aIle x E K - eine Stiitzebene (Stiitzhyperebene) von K, welche K im Punkt z "stiitzt".

Die auftretende Differenz kann immer gebildet werden, da sup f(D) > -00 und inf f(D) < 00 ist. Offenbar nimmt die GroBe w(D) bei VergroBerung von D zu. Daraus folgt, daB w(Br(~) n D) eine monoton wachsende Funktion von r ist. Der Limes existiert also, und er ist genau dann unendlich, wenn f in jeder DUmgebung von ~ unbeschrankt ist. 1st If(x) - f(~)1 < E in einer D-Umgebung U von ~, so folgt w(U) :::;; 2E, und umgekehrt ergibt sich aus dieser Ungleichung die Abschatzung If(x) - f(~)1 :::;; 2E. Diese Uberlegung flihrt zum folgenden Lemma.

Wie so11 denn das zu E gehorende b bestimmt werden, wenn nachher etwa in der zweiten Differenz die Stetigkeit in y an einem Punkt (x + IX, y, z, ... ) herangezogen wird, dessen Lage unbekannt ist und durch eben dieses b eingeschriinkt 40 § 2. Grenzwert und Stetigkeit wird? Cauchy hatte offenbar im Sinn, daB diese Differenz in y bei kleinem IPI gleichmaBig klein ist, unabhangig davon, welchen Wert die "Parameter" x, z, ... haben, wenn sie sich nur nahe bei X, Z, ... befinden. Er setzte also, wenn wir ihn wohlwollend interpretieren, die gleichgradige Stetigkeit in y in bezug auf die Parameter x, z, ...

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