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By Stefan Hildebrandt

Das vorliegende Lehrbuch ist als Leitfaden f?r eine zwei- oder dreisemestrige Analysis-Vorlesung gedacht und richtete sich an Studierende der Mathematik und Physik sowie an mathematisch interessierte Studierende der Informatik und der exakten Wissenschaften. Ausf?hrliche Beweise und Erl?uterungen sowie zahlreiche Beispiele und interessante ?bungsaufgaben eignen es sehr intestine f?r das mathematische Selbststudium. Ein klarer und ?bersichtlicher Aufbau und eine geschickte Gliederung des Stoffes erm?glichen, das erste Studium auf Kernbereiche zu beschr?nken. Dem Dozenten werden vielf?ltige M?glichkeiten geboten, je nach artwork der Vorlesung verschiedene Schwerpunkte zu setzen und geeignete Wege zur Darstellung des Stoffes zu w?hlen. Geometrische instinct und historische Motivation in Verbindung mit einer ma?vollen Abstraktion kennzeichnen diese moderne Einf?hrung in die research.

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Variational Methods for Eigenvalue Approximation (CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics)

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Acta Numerica 1994: Volume 3

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In der Menge R der reellen Zahlen, die wir axiomatisch vorgegeben haben? Wir bilden sukzessive die Zahlen 1 , 2 = 1 + 1 , 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 , usw. , aber das und so weiter“ ist etwas vage und schwer zu fassen. Darum wollen ” wir die Menge der nat¨ urlichen Zahlen, N, auf die folgende, etwas merkw¨ urdig anmutende Art und Weise einf¨ uhren. Definition 1. Eine Teilmenge M von R heißt induktiv, wenn gilt: (i) 1 ∈ M . (ii) Mit x ∈ M gilt auch x + 1 ∈ M . Beispielsweise ist R induktiv, und man sieht leicht, daß der Durchschnitt induktiver Mengen wiederum induktiv ist.

Und Entsprechendes gelte in (3). Dann folgt: 40 Kapitel 1. Grundlagen der Analysis Satz 1. (i) Jede nichtnegative reelle Zahl x kann geschrieben werden als x = g + ξ mit g = x ∈ N0 , ξ ∈ [0, 1), wobei p Zj · 2 j , g= Zj ∈ {0, 1} , p ∈ N0 , j=0 und Zp = 1, falls g ≥ 1 ist. Die Ziffern Z0 , Z1 , . . , Zp sind eindeutig durch x bestimmt. Ferner gibt es eine eindeutig bestimmte Folge {In } von Intervallen der Form n In = [an , an + 2−n ) , an = zν · 2−ν , zν ∈ {0, 1}, ν=1 so daß gilt: ξ ∈ In f¨ ur jedes n ∈ N .

Aufgaben. 1. Gibt es eine beschr¨ ankte Zahlenfolge, die k vorgeschriebene Werte x1 , x2 , . . , xk ∈ R und nur diese als H¨ aufungspunkte hat? 2. Die Irrationalzahlen liegen dicht in R. Beweis? 3. Sei H die Menge der H¨ aufungspunkte einer beschr¨ ankten Zahlenfolge. Man beweise, daß sup H und inf H in H liegen. 4. Man leite analog zu Satz 1 die Dezimalbruchentwicklung“ nichtnegativer reeller Zahlen ” her. 5. Man beweise, daß ein unendlicher Dezimalbruch 0, z1 z2 z3 . . h. zk+p = zk f¨ ur k ≥ k0 und ein p ∈ N), wenn er eine rationale Zahl darstellt.

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