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By C. Canuto, A. Tabacco

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Successivamente, ruotiamo la retta attorno all’origine di 90o in senso antiorario, ottenendo l’asse delle ordinate. Abbiamo cos`ı ottenuto un riferimento cartesiano ortogonale isometrico (menzioniamo qui, senza ulteriori approfondimenti, che talvolta `e utile considerare riferimenti cartesiani in cui gli assi non siano ortogonali tra loro e/o le unit` a di misura, talvolta dette scale, siano diverse sui due assi). Dato un qualunque punto P del piano, tracciamo le due parallele agli assi cartesiani passanti per P ; indichiamo con x il numero reale associato al punto intersezione dell’asse delle ascisse con la parallela all’asse delle ordinate; similmente, sia y il reale associato al punto intersezione dell’asse delle ordinate con la parallela all’asse delle ascisse.

Facile verificare che A ⊆ f −1 (f (A)) per ogni sottoinsieme A di dom f , mentre E −1 f (f (B)) = B ∩ im f ⊆ B per ogni sottoinsieme B di Y . 2 Sia f : R → R, f (x) = x2 . L’immagine attraverso f dell’intervallo A = [1, 2] `e l’intervallo B = [1, 4]. 5). 1, possono essere particolareggiati al caso dell’immagine di una funzione. 5. 3 Sia f una funzione reale, e sia A un sottoinsieme di dom f . Chiamiamo estremo superiore di f su A (o in A) l’estremo superiore dell’immagine di A attraverso f ; poniamo dunque sup f (x) = sup f (A) = sup{f (x) | x ∈ A}.

9. Modello matematico del piano (a sinistra) e dello spazio (a destra) 24 1 Nozioni di base Il concetto di prodotto cartesiano pu`o essere generalizzato al caso di pi` u di due insiemi. Precisamente, dati n insiemi non vuoti X1 , X2 , . . , Xn , formiamo le n−uple ordinate (x1 , x2 , . . , xn ) scegliendo ordinatamente, per i = 1, 2, . . , n, ciascuna componente xi nell’insieme Xi . Il prodotto cartesiano X1 × X2 × . . × Xn `e costituito dall’insieme di tutte queste n−uple. u semplicemente X × X × .

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